Kleine Formelsammlung

 

Im Folgenden möchte ich Ihnen eine Übersicht der wichtigsten Größen und Formeln geben, die für die Berechnung bzw. Beurteilung der Leistungsfähigkeit eines Teleskops und für dessen Verwendung wichtig sind. Alle Formeln können ohne besondere mathematischen Kenntnisse leicht in der Praxis angewendet werden.

 

 

Öffnung D

Die Öffnung bezeichnet die Größe der Objektivlinse (Linsenteleskop, Refraktor) oder des Hauptspiegels (Spiegelteleskop, Reflektor). Sie ist die wichtigste Größe eines Teleskops, denn sie bestimmt dessen Lichtsammel- und Auflösungsvermögen.

Sie wird in Millimetern oder in englischen Zoll (1" = 25,4mm) angegeben.

 

 

Brennweite f

Als Brennweite ist der Abstand zwischen der Primäroptik (Objektivlinse oder Hauptspiegel) und dem Brennpunkt definiert. Der Brennpunkt ist der Ort, in dem sich die von der Optik gebeugten Strahlen in einem Bild vereinen. Die Größe dieses Bildes ist von der Brennweite abhängig. Je größer die Brennweite, desto größer das Bild in dieser Brennebene.

 

 

Öffnungszahl n

Als Öffnungszahl wird der Quotient aus Brennweite f und Öffnung D eines Teleskops bezeichnet. Je kleiner dieses Verhältnis ist, desto lichtstärker ist das Teleskop. Lichtstarke Teleskope (z.B. n=4) haben ihre Stärken besonders im Deep Sky Bereich. Teleskope mit großen Öffnungszahlen (z.B. n=10) hingegen sind mit ihren langen Brennweiten gut für Mond- und Planentenbeobachtung bzw. -fotografie geeignet.

 

Öffnungszahl n = Brennweite f [mm] / Öffnung D [mm]

 

Beipsiel:

Brennweite f = 2800mm, Objektivdurchmesser D = 280mm, -> Öffnungszahl n = 10

 

Der reziproke Wert der Öffnungszahl wird auch Öffnungsverhältnis N genannt.

Im obigen Beispiel hat das Teleskop also ein Öffnungsverhältnis von 1/n bzw. 1/10. Sehr häufig findet man folgende Schreibweisen: 1:10  oder f/10.

 

 

Vergrößerung V

Die Vergrößerung eines Teleskops ist keine feste "bauliche" Größe, sondern wird durch die Wahl entsprechender Okulare bestimmt. Okulare verschiedener Brennweiten fo ergeben unterschiedliche Vergrößerungen.

 

Vergrößerung V = Brennweite des Teleskops f [mm] / Okularbrennweite fo [mm]

 

Beispiel:

Brennweite des Teleskops f = 2.800mm, Okularbrennweite fo=12mm

-> Vergrößerungsfaktor 233-fach (233x)

 

 

Austrittspupille Ap

Die Austrittspupille ist der Durchmesser des Lichtbündels, das aus dem Okular austritt.

 

Austrittspupille Ap [mm]  = Öffnung  [mm] / Vergrößerung

 

Die Pupille des menschlichen Auges hat maximal 7mm Durchmesser (bei guter Adaption an die Dunkelheit). Ist die Austrittspupille des Teleskops größer als diese 7mm, dann kommt weniger Licht im Auge an. Erst wenn die Austrittspupille gleich der des Auges ist, erscheinen ausgedehnete Himmelsobjekte (Nebel, Galaxien) besonders hell.

Zu beachten ist, dass der maximale Pupillendurchmesser des Auges altersabhängig ist. Mit zunehmendem Alter nimmt dieser ab.

 

 

Lichsammelvermögen L

Die besondere Eigenschaft eines Teleskops ist es, Licht zu sammeln. Hierbei ist die Öffnung (bzw. die effektive Öffnung, siehe auch Obstruktion, weiter unten) eines Teleskops entscheidend. Je größer die Öffnung ist, desto mehr Licht wird gesammelt und desto schwächere Objekte können wahrgenommen werden.

Das Lichtsammelvermögen steigt quadratisch mit dem Durchmesser an. Doppelter Durchmesser bedeutet vierfache Lichtmenge.

Das Lichtsammelvermögen gibt an, um wieviel mal ein Teleskop mehr Licht sammelt als das menschliche Auge.

 

Lichtsammelvermögen L = D² / Dp² = D² / 49

mit Dp= Pupillendurchmesser des menschl. Auges = 7mm

 

Beispiel:

Mein Teleskop mit einer Öffnung D = 280mm hat das 1600-fache Lichtsam-melvermögen des menschlichen Auges (bei 7mm Pupillendurchmesser).

 

Interessant ist die Frage nach den schwächsten Sternen, die mit einem Teleskop noch visuell beobachtet werden können. Hierzu wird das Lichtsammelvermögen L in die Maßeinheit Magnitude [mag] umgerechnet:

 

L[mag] = 2,5*lg(D²/Dp²)

 

Ist am Beobachtungsstandort die Grenzgröße der Sterne, die mit bloßem Auge noch sichtbar sind, bekannt, kann durch Addition dieser Grenzgröße und des Lichtsammelvermögens L[mag] die Grenzgröße der Sterne berechnet werden, die mit dem Teleskop gerade noch sichtbar sind. Diese Berechnung ist allerdings nur als grobe Üerschlagsrechnung zu verstehen, da hierbei weitere Einflussfaktroren wie Sehvermögen des Beobachters, Qualiät der Optik (Linsen, Spiegel) etc. nicht berücksichtigt werden.

 

Beispiel:

In unserem großstadtnahen Bereich sind unter besten Bedingungen noch Sterne bis ca. 4mag erkennbar. Mit D=280mm und Dp=7mm ergibt sich L[mag]=2,5*lg(280²/7²)= 8mag. Somit ist die visuelle Grenzgröße im Teleskop etwa 12mag.

 

 

Auflösungsvermögen A

Als Auflösungsvermögen eines Telskops wird dessen Fähigkeit bezeichnet, zwei eng zusammenstehende Objekte noch zu trennen. Je größer die Öffnung eines Teleskops ist, desto größer ist sein Auflösungsvermögen. Der Zusammenhang ist linear. Aber auch von der Wellenlänge des Lichtes ist das Auflösungsvermögen abhängig. Eine praktikable Faustformel zur näherungsweisen Berechnung kann unter Zugrundelegung des Rayleigh-Kriteriums wie folgt abgeleitet werden:

 

Das Rayleigh-Kriterium besagt, dass zwei punktförmige Lichtquellen gerade noch getrennt werden können, wenn das erste Minimum des Beugungsscheibchens der ersten Quelle mit dem Beugungsmaximum der zweiten Lichtquelle zusammenfällt. Der Abstand (=Auflösung) der beiden Helligkeitsmaxima beträgt

 

A [rad] = 1,22 * λ / D

 

Setzt man für λ=550nm als guten Mittelwert für das vom menschlichen Auge wahrnehmbare Lichtspektrum ein und rechnet in Bogenmaß um, so ergibt sich für die Auflösung

 

Auflösungsvermögen A ["] = 138,6 / Öffnung [mm]

 

In der Astronomie werden die Abstände von Objekten am Himmel in Bogenmaß angegeben: in Grad [°], Bogenminute [´] und Bogensekunde ["]. Es sind 60 Bogensekunden = 1 Bogenminute, 60 Bogenminuten = 1°.

 

Beispiel:

Mein Teleskop hat mit einer Öffnung von D=280mm nach obiger Formel ein Auflösungsvermögen von ca. 0,5 Bogensekunden.

Im Vergleich zum menschlichen Auge, das ein Auflösungsvermögen von etwa einer Bogenminute besitzt, wird mit diesem Teleskop einer Verbesserung um den Faktor 120 erzielt. 

 

In diesem Zusammenhang ist die Frage sicherlich interessant, welche Formationen auf dem Mond denn noch aufgelöst bzw. erkannt werden können. Mit Hilfe des Auflösungsvermögens und einer einfachen trigonometrischen Beziehung kann diese Frage leicht beantwortet werden. Die mittlere Entfernung zum Mond sei 384.000km.

 

Objektgröße auf dem Mond [km] = tan (Auflösungsvermögen ["] / 3600 ["]) * 384.000km

 

Mit meinen Teleskopdaten werden also auf dem Mond Objekte (Krater, Berge,..) mit einer Größe von etwa 930m noch erkannt.

 

 

Sinnvolle minimale Vergrößerung Vmin

Sie ist dann gegeben, wenn der Lichtstrahl aus dem Okular (Austrittspupille Ap) dem Pupillendurchmesser des an die Dunkelheit adaptierten menschlichen Auges entspricht.

 

Vmin = Öffnung [mm] / 7mm

 

Beispiel:

Die sinnvolle minimale Vergrößerung meines Teleskops mit D=280mm beträgt 40-fach.

 

 

Sinnvolle maximale Vergrößerung Vmax

Theoretisch ließe sich die Vergrößerung eine Teleskops beliebig steigern. Jedoch nehmen dabei die Bildinformationen stark ab, das Objekt wird dunkler und unschärfer. Diese negativen Effekte treten etwa dann auf, wenn die Austrittspupille kleiner als 0,7mm wird.

Bei der sinnvollen maximalen Vergrößerung wird das maximale Auflösungsvermögen des Teleskops genutzt, die schwächsten Sterne sind am besten sichtbar.

 

Vmax = Öffnung [mm] / 0,7 = 10 * Vmin

 

Vielfach wird man diese Vergrößerung in der Praxis nicht anwenden. Die Qualität der Optik aber besonders die der Atmosphäre (Luftturbulenzen, Aufhellungen) reduzieren diese deutlich. Meine Erfahrungen zeigen, dass in urbanen Gebieten Vergrößerungen über 200x nur sehr selten genutzt werden können.

 

Beispiel:

Die sinnvolle maximale Vergrößerung meines Teleskops mit D=280mm beträgt 400-fach.

 

 

Gesichtsfeld des Teleskops G

Interessant ist die Frage nach dem Himmelsausschnitt, der mit einem Okular bei einer bestimmten Vergrößerung im Teleskop überblickt werden kann.

Jedes Okular hat zwei wichtige Kenngrößen: die Okularbrennweite fo [mm] und das Gesichtsfeld Go [°].

 

Gesichtsfeld des Teleskops G [°] = Gesichtsfeld des Okulars Go [°] / Vergrößerung V

             = Go [°] * fo [mm] / f [mm]

 

Beispiel:

Die Brennweite des Teleskops beträgt f=2800mm, das Gesichtsfeld des Okulars Go=82°, die Okularbrennweite fo=12mm.

Das mit dem Teleskop einsehbare Gesichtsfeld G ergibt sich zu 0,35° bzw. 0° 21´.

 

Damit ist eine einfache Abschätzung möglich, mit der bei bekannter Größe eines Himmelsobjektes (z.B M31, M45,...) die Vergrößerung bzw. Okularbrennnweite errechnet werden kann, um das Objekt in der gesamten Flächenausdehnung im Teleskop zu sehen.

 

 

Obstruktion

Spiegelteleskope (Newton-Teleskope, Schmidt-Cassegrain-Teleskope, Maksutov-Teleskope) besitzen im Gegensatz zu Linsenteleskope einen Fangspiegel, der sich im Strahlengang des Teleskops befindet. Die durch den Fangspiegel verursachte Abschattung (Obstruktion) wirkt sich negativ auf das Lichtsammelvermögen und den Kontrast dieser Teleskopbauarten aus. Die Minderung der Teleskopleistung kann auf einfache Weise  berechnet werden.

 

Verminderung der lichtsammelnden Leistung führt zu einer geringeren, effektiven Teleskopöffnung:

 

effektive Öffnung Deff [mm] = SQRT (Durchmesser Hauptspiegel D² - Durchmesser Fangspiegel Df²)

 

SQRT= Quadratwurzel

 

Beipsiel:

Mein Teleskop hat einen Hauptspiegeldurchmesser von D=280mm, der des Fangspiegels beträgt Df=95mm. Somit ergibt sich ein effektiver Durchmesser von Deff=263mm. Damit kann dieses Teleskop hinsichtlich des Lichtsammelvermögens mit einem Linsenteleskop von D =263mm verglichen werden.

 

Verminderung der Kontrastleistung (Schärfe des Bildes) führt zu einer geringeren effektiven Kontrastöffnung des Teleskops:

 

effektive Kontrastöffnung Dkeff [mm] = Hauptspiegedurchmesser D [mm] - Fangspiegeldurchmesser Df [mm]

 

Beispiel:

Für mein Teleskop ergibt sich mit den obigen Daten eine effektive Kontrastöffnung von Dkeff=185mm. Damit ist dieses Teleskop bezüglich der Kontrastleistung einem Linsenfernrohr von D=185mm vergleichbar.